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　　原標題：總考C的學生 究竟是怎么成為數(shù)學家的？ 

　　美國著名數(shù)學家約克（James A. Yorke）教授和他的學生李天巖發(fā)現(xiàn)了著名的“李—約克定理”，首次定義了一個重要的科學名詞——混沌。但成就斐然的約克教授從高中到大學，考試幾乎從未拿過優(yōu)，大學成績基本是“C或C以下”，他是如何成為數(shù)學家的？

　　2015年7月4日照例是美國的獨立節(jié)全國法定假日，但對于我和其他一些人來說都過得特別令人難忘。那一天給我們留下了極其美好的記憶，是因為它是我的博士論文指導老師李天巖教授三十多年來的眾多弟子，以及他自己的博士論文指導老師約克教授(James A. Yorke) 大家歡聚一堂，慶祝他70壽辰的日子。我們師門的祖師爺約克教授的出場使得上、下午的生日慶賀學術研討會以及晚間的生日祝壽談笑聚餐會更具有意義，更動人心扉。約克教授贈予他的獨特弟子的獨特禮物體現(xiàn)了他們師徒兩人四十年前對科學界的重大貢獻：一瓶命名為“混沌”的紅葡萄酒！

　　約克教授（左）在李天巖（右）70歲生日研討會上，手握“混沌”牌葡萄酒 | 供圖：丁玖

　　在大家前往密歇根州立大學的旅途當中（最遠的來自臺灣高雄），我比李教授的其他學生更為幸運，因為在我和約克教授各自從密西西比州和馬里蘭州飛往密歇根州首府蘭辛，抵達旅行終點前的第二個航班上，我就遇見了他。而且航空公司碰巧把我們的飛機公務艙座位放在一前一后的位置，使得我們的交談從底特律飛往蘭辛前就正式啟動了！我們在機艙內，從蘭辛機場前往旅館Kellogg中心的路上，夜晚在他的客房，言猶未盡而相約翌日凌晨的繼續(xù)談話（我?guī)讉€早期的師兄弟、師姐妹也順便加入其中），大都是圍繞著“文化教育”這個主旋律。這是因為一開始我就告訴他，他的弟子游志平博士是與美國的普及性期刊Mathematical Intelligencer（《數(shù)學信使》）宗旨相似的中國雜志《數(shù)學文化》之“特約撰稿人”及專欄作者（現(xiàn)為雜志編委），以筆名“萬精油”獨步天下，這引起了他的極大興趣；聊到中美教育時，我也提到我剛寫了一本中文書（《親歷美國教育：三十年的體驗與思考》），將由商務印書館出版。約克教授就像被《時代周刊》采訪的風云人物一樣，一旦受我引導，幾乎無所不談，于是我又獲得了一些關于他的“獨家新聞”及其他資料。

　　我很早就從導師李天巖教授嘴里聽到不少約克教授的有趣故事和真知灼見，后來在美國科學記者格萊克(James Gleick) 的百萬冊暢銷書Chaos: Making a New Science（中文譯本為《混沌：開創(chuàng)新科學》）中，又讀到他的許多混沌故事，個別的也放進了我自己多年前出版的科普書《智者的困惑：混沌分形漫談》。

　　一個考試成績平平的中等生

　　我在我的科普書中寫道，約克教授曾經(jīng)告訴他的學生李天巖他在哥倫比亞學院（哥倫比亞大學的本科學院；大多數(shù)中國人可能不知道這個事實而“有眼不識泰山”）讀書時“沒有B”，來自臺灣的李天巖自然用中國文化推理成“全是A”。但是他的老師告訴他其實是“C或低于C”。2005年，當我們在臺灣新竹清華大學慶祝李天巖教授60華誕時，約克教授曾對他這位得意弟子承認，對體育課之類的他是拿到過一到兩個B的。而這一次，他告訴我他高中時的數(shù)學最高成績也只是86分，四年中沒有一門課拿到A，但比他的大學本科前三年的最高數(shù)學成績還高一些分呢。但是，他高中階段參加了州里在羅格斯大學舉辦的一場數(shù)學競賽，那需要“真正的數(shù)學功夫”，他卻拿了個全州第三！大概是因為這類體現(xiàn)本質的好成績，他被慧眼識珠的哥倫比亞學院錄取。但在大學的前三年，他依然沒有拿到任何學科的A，除了一門體育課。不過這個零紀錄在第四年終于被打破了，他拿到了至少一個A。雖然大學成績單不那么漂亮，他卻告訴我他那階段學到了許多，甚至還參加了著名的全美大學生普特南數(shù)學競賽并做得很好，這幫助了他被像康奈爾大學這樣的私立名校錄取。因為他和他未來的太太想嘗嘗公立大學的滋味并對馬里蘭大學的應用數(shù)學研究情有獨鐘，于是他們進了后者的研究生院繼續(xù)深造，并分別獲得數(shù)學與物理的博士學位。

　　從后來約克教授電郵我的他高中四年的成績單，我看到這樣的數(shù)學課學年平均成績：高一的《代數(shù)-I》是79，高二的《代數(shù)-II》是75，高三的《幾何》是85，高四的《數(shù)學》是86。據(jù)說中國的中、小學生，數(shù)學成績95分的也要請家教輔導，因為這個分數(shù)在班上很落后。我進一步注意到，約克高中期間各學年班級總排名分別是50/74，46/71，35/70，20/70。雖然他的數(shù)學考試成績都不在“優(yōu)秀”的范圍，但他總成績的年度相對排名卻是個嚴格的遞增函數(shù)。

　　驚奇嗎？這聽上去不大可信。根據(jù)完全基于課堂排名和考試成績的中國標準，約克一定不會被看作是個好學生。一個無優(yōu)等成績的中等學生怎么成了一名世界著名的數(shù)學家？這位數(shù)學家和他的學生首次定義了現(xiàn)代數(shù)學名詞——混沌，并把馬里蘭大學打造成世界上最好的混沌研究中心。中國的數(shù)學教育專家可以研究研究這個課題。

　　約克教授

　　學生與研究者的區(qū)別

　　對上述問卷也許有許多的求解暗示，包括像父母遺傳的高智慧或大腦結構等內在的素質。但是約克教授僅僅提到他學習和探索數(shù)學的一種哲學思辨。他對我說： 理解重要數(shù)學定理證明的片片斷斷遠比僅僅理解定理本身重要（understanding the pieces in the proof of an important theorem is more important than understanding the theorem itself）。

　　這真的是一個絕妙無比的思想！它如此易于理解，但對許多數(shù)學的學習者實踐起來卻又如此困難重重。一個極端的負面例子當屬中國某個名牌大學的一位學者。我記得他告訴過我，他一般不讀定理的證明；他僅僅滿足于閱讀定理的結論。在我讀博士的歲月里，李天巖教授講過他在馬里蘭大學念書時代的一個趣聞。一位博士生央求她的資格考的口試教授讓她證明一般拓撲學中的吉洪諾夫(Tychonoff) 定理：任意一族緊空間的笛卡爾乘積在乘積拓撲下也是緊空間，而不是教授要求她證明的定理的特殊情形：兩個緊空間的乘積空間也是緊的。理由是顯然的：她已將前者的證明背得滾瓜爛熟，卻未能理解證明語言背后的基本思想。

　　正如約克教授所強調的， 理解定理證明中的每一片能讓你掌握證明過程所依據(jù)的奇思妙想，然后可將此種想法或由此進化而來的新思路用在進攻其他數(shù)學問題上。這樣，數(shù)學的不同學科就不再被看成是彼此老死不相往來的孤立分子，而是一座整體大廈的不同側面。根據(jù)我的領悟，僅僅理解定理的好處只是知道作為一個單獨數(shù)學命題的結論，而逐片逐片理解整個定理證明的收益是使得你有潛力開創(chuàng)出更多的數(shù)學命題，舉一而反三。我猜這就是為何“成績平均或平均以下”的約克能在州級競賽中打敗其他選手的奧秘所在！

　　在給我的電郵中，約克教授更詳細地闡述了他關于理解數(shù)學證明的哲學要素。他強調說， 學生（甚至教授）要試圖理解證明中的關鍵想法（key ideas），并最好找到兩個關鍵想法。這些關鍵想法不一定以“引理”的面貌出現(xiàn)，因為書中也許指出了太多似是而非的關鍵想法。其實關鍵想法往往是令學生大吃一驚的那個，因而不同人會挑出一個證明中的不同關鍵想法。它們是提高我們理解力的關鍵要素。一個關鍵想法也許會有復雜的證明，故學生們 應當從這個想法中發(fā)現(xiàn)兩個關鍵的思想。接著，約克教授不厭其煩地用了一個介值定理的證明來說明他的如上論點。這個證明取自一本微積分的教科書，為了證明這個重要定理，書中列出了太多的引理來做準備工作。

　　該定理是說，如果f是一個定義在區(qū)間[a, b]上的連續(xù)實函數(shù)，則對位于函數(shù)值f（a）和f（b）之間的任何數(shù)y，存在（a, b）中一點c，使得f（c） = y。

　　證明的第一個想法是，通過區(qū)間的中點（a+b）/2將區(qū)間[a, b]一分為二，得到兩個子區(qū)間，長度都是原區(qū)間的一半。若函數(shù)f在上述中點處取值y，則定理得證，否則數(shù)y一定位于函數(shù)f在兩子區(qū)間之一兩個端點上的值之間。由此性質確定的那個子區(qū)間將取代原先的區(qū)間。

　　第二個想法是，只要函數(shù)f不在所得區(qū)間中點處取值y（否則定理得證），重復運用上面那個區(qū)間平分的想法，保持y位于區(qū)間兩端點的函數(shù)值之間這一性質，就得到越來越短、前面套住后面的一個無窮的區(qū)間序列，這些區(qū)間最終趨向于一個點c，該點必定滿足f（c）= y。

　　不管書中列出多少引理，上面兩個就是定理證明所需要的關鍵思想。其中第二個思想也導致了計算數(shù)學中求解連續(xù)函數(shù)零點的一個簡單方法——二分法（bisection method）。約克教授頗為自豪地告訴我，他甚至從高中起就學會了理解關鍵性的想法，以至于一旦碰到以前沒見過的問題，就可能有較大機會解決它。他的一位過去的博士生說過，Jim（約克教授的昵稱）比他的學生知道的定理少，但那無妨，因為他能造出所需要的定理。他對學生的一個忠告就是： 讀書之初你或許應該確定你是否只想成為學生（那就背誦定理），還是想成為研究者（則必須學會理解想法）。

　　因為我和約克教授聊到上述的吉洪諾夫定理，這給了他一個好機會就用這個拓撲學的大定理深化他關于“理解關鍵想法”的讀書方法。這個定理的證明要比介值定理難多了，連約克教授自己也要花上幾天才梳理清楚（“It took me a couple of days to work out AND I ALREADY KNEW THE PROOF”）；他幾年前曾將它寫出。我在本文初稿中未論及它，就是擔心部分讀者害怕讀之。但是知難而上是學習數(shù)學的好態(tài)度，正如美國已故大物理學家費曼給他妹妹的一個讀書訣竅所言，讀不懂時從頭再來，直到讀懂為止。下面的敘述結合了約克教授的論證思想和我的一些理解。

　　證明用到的是關于緊性的等價說法：一個拓撲空間是緊的當且僅當它的任何具備有限交性質的閉子集族都有非空交集。“有限交性質”意指“族中任何有限子族交集非空”。這個性質就是證明吉洪諾夫定理的兩個關鍵想法之一。

　　記S為一族緊空間S a 的笛卡爾乘積空間，帶有乘積拓撲，其中下標a取自某一個指標集。要證S是緊的，根據(jù)如上所述，只需證明它的任一閉子集族F，只要滿足有限交性質，就有非空交結論，及存在一點p屬于F中的每一個集合。

　　現(xiàn)在需要第二個關鍵想法了：在F中加進一些集合并保持有限交性質，使得擴張后的集族有一個共同元素，因而它的子集族F共享這個元素，以至于吉洪諾夫定理得證。實現(xiàn)這個想法的工具是Zorn的“引理”。該引理說：任給一偏序集X，如果它的每個全序子集都有上界，則X含有一最大元素。將Zorn引理用于這里的情形，以集合的包含關系為“序結構”，則有：F包含在S的滿足有限交性質的一個最大子集族G中。注意G的元素不一定都是S的閉子集。

　　任給指標a，將G中的每個集合通過由S到S a 的“標準坐標投影”映射到S a 上。由于G滿足有限交性質，得到的像集族也具備有限交性質。雖然這些像集在S a 中不一定為閉，但它們的閉包是S a 的閉子集，且這族集合同樣帶著有限交性質。既然S a 是緊的，該閉包族有一共同元素，記為p a 。則p = (p a )是屬于S的一個點。我們想證明p屬于G中的所有集合。

　　為此目的，只需證明p的每個鄰域都在G中。因為一旦如此，則p的所有鄰域都和G的每個集合相交，故p屬于G中每個集合的閉包，從而也屬于F中的每個集合。根據(jù)乘積拓撲的定義，只需考慮p a 在S a 中的鄰域N a 之笛卡爾乘積N這樣的鄰域，其中除有限個指標a外N a 等于S a 。由于N是有限個N a 在從S到S a 的標準坐標投影下的逆像之交集，我們只需驗證每一個N a 的投影逆像都屬于G。這可如下證之。

　　因為p a 屬于G中各集在S a 上的投影像集的閉包，N a 與各像集有非空交，故N a 的投影逆像與G中各集有非空交。由G的最大性，此逆像屬于G。這時可寫Q.E.D.了。

　　作為約克怎樣學數(shù)學哲學觀點的一種實踐，在他與Kathleen Alligood 和 Tim Sauer合著的熱賣教科書Chaos: An Introduction to Dynamical Systems（《混沌：動力系統(tǒng)導論》）中，每一章結束之處，不僅有幫助理解概念的通常習題，而且有一個挑戰(zhàn)性的大題目，完成它需要對定理證明的方方面面有透徹的理解！

　　“讀書比聽課更重要”

　　怎樣才能理解定理的每一片證明？約克教授對那些只信任教師的學生開了一副藥方： 讀書比聽課更為重要（reading books is more important than attending lectures） 。當然，如果一名學生如此走運，有約克教授或李天巖教授這樣的好老師授課，自然能取到真經(jīng)，掌握了證明的基本思想或幾何洞見。然而，如同約克教授所說，課堂講課的聲音課后就消失殆盡，再不回頭，而書本的內容則永遠擺在那里。經(jīng)過積極主動地自學，你能挖掘得越來越深，不斷思考，開發(fā)出證明的真理。他進而建議讀證明的更好方式：開始時試圖自己證明，而不是讀作者給出的現(xiàn)成句子，然后與教科書比較，激發(fā)獲取新思路的靈感。事實上，約克教授告訴我，他大部分的數(shù)學知識來自學生時代獨立閱讀與思考的自學。

　　當我對他提到在中國，考進北大或清華讀本科總是父母對子女的夢想。約克教授馬上回答道：“就本科生教育而言，哈佛大學是美國最差的頂尖大學之一。”這句話讓患有“名校情結綜合癥”的中國父母聽到，不啻是一記悶棍！事實上確實是。在最好的研究型大學里，許多教授不管本科課堂的學生是否跟得上他們飛快地講課速度，課后也很少與他們交流。學生被當作像教授一樣的天才來教，而天才教授也許只愿多花時間與他們的博士研究生探討學問。假如一名學生還沒有學會怎樣通過自學來讀書的話，他或許在這個最重要的求學過程中遭受到災難性的創(chuàng)傷，其學習真正數(shù)學的動因也可能就會逃之夭夭，一去而不復返。我告訴約克教授，去年我在上海讀到一本英文著作Excellence without a Soul: How a Great University Forgot Education的中文翻譯《失去的卓越》，作者是哈佛學院（哈佛大學的本科學院）前任院長、計算機科學教授劉易斯（Harry R. Lewis)）。這兩位知名學者的觀察與見解驚人的一致，真是英雄所見略同。

　　約克教授不僅對常春藤名校的本科教育表示同情，也試圖改善他所任教大學數(shù)學系的教學環(huán)境。他告訴我說，退休前在他擔任六年系主任的期間內，對本科生教育大刀闊斧地改革了一番，效果顯著。他甚至與他的同事Patrick Fitzpatrick教授合作修改后者所著的高年級課本《高等微積分》，再版后的教材更對學生的胃口。我的女兒如果遲上幾年大學，就有機會用到新版的同一本教科書了。

　　獨立節(jié)早餐前，在我們下榻旅館的大廳交談結束后，我和早我一年拿到學位的師姐張紅博士陪同約克教授前往數(shù)學系所在的大樓Wells Hall，我們一整天的慶祝李天巖教授70壽辰的學術活動就在三樓會議室舉行。作為美國最早的“贈地大學”之一及第一家農學院，密歇根州立大學是全美最美校園之一，故沿途走去相當于觀賞國家公園。很快地，路旁的松鼠引起了約克教授的極大興趣。只見他拿出照相機，開始為它們留下倩影。最好的幾張和其他白天、晚間他所拍的照片一樣，最后都讓我們所有參會者分享。張紅和我都注意到約克教授對選取最佳拍照角度十分耐心，百分專注。最終，一張漂亮松鼠面部正對拍照者的攝影佳作出現(xiàn)在我們的面前。當我們盡情欣賞這張美照時，約克教授解釋道，每當他照相時，他都極力想拍出他到此為止的最好相片。這不正是他之前對我講到關于教育的同樣哲學思想？當天晚上在生日晚會的致辭中，張紅與大家分享了這段有趣的插曲，描繪了我們的祖師爺約克教授的教育思想及治學態(tài)度。

　　2005年，約克教授在參加完弟子李天巖教授60周歲生日研討會后，接受了臺灣數(shù)學界領袖之一劉太平教授對他的采訪，后來我在北京讀到了《數(shù)學傳播》雜志上刊登的采訪記。約克教授在談話中鼓勵年輕人的一句預言“計算可能導致偉大科學發(fā)現(xiàn) (computing may lead to a great scientific discovery)”已被引用到我的科普書中。十年后的這次相遇，他與我的短暫交流，不僅傳達了他關于數(shù)學教育的深刻見解，而且也是對我的一次教育。我感到有一種欲望，將他的思想與讀者們分享。畢竟，我們年輕的大學生、研究生會從他的言語中領略到他的話到底意味著什么？